В последние годы, в печати и электронных средствах информации разработчиками ППП "Полигон" г.Санкт-Петербург, в частности г. А.М.Тихомировым, регулярно распространяются материалы [1-5] (список источников в конце статьи), в которых содержатся рекомендации по выбору систем компьютерного моделирования литейных процессов и проводится их сравнительный анализ, основным лейтмотивом которого является обсуждение численных алгоритмов, лежащих в основе различных систем.

 

Без сомнения, основная цель этих публикаций - реклама своей продукции, что не является предосудительным для любого производителя товаров и услуг, если за этим не стоит попытка ввести потенциального покупателя в заблуждение. А именно такое ощущение возникает от чтения данных материалов. Поскольку в данных публикациях вопрос о преимуществах пакета программ увязывается с вопросом о численных методах, имеет смысл продолжить начатую дискуссию, осветив данную тему с различных сторон.
Для начала хотелось бы отметить одно обстоятельство, которое бросается в глаза при чтении [1-5]: все статьи, при обсуждении численных методов, пестрят утверждениями в духе: "...МКР более старый и менее скоростной.

МКЭ более современный, прогрессивный и гораздо более подходит для решения основных литейных процессов , [5]", "…имеет смысл дать некоторые пояснения относительно … методов расчета - методе конечных разностей и методе конечных элементов. Эти методы серьезно различаются по достоверности решения [4]", или, "…К самым большим недостаткам MagmaSoft следует отнести разностный метод расчета…[4]", или "Конечно-элементный подход … более "сильный", т.е. на уровне исходных посылок точнее соответствует уравнениям задач теории поля [3]", которые трудно назвать профессиональными и даже просто грамотными.

Скорее - это всего лишь необоснованные по сути высказывания.

Поэтому, чтобы разобраться в существе вопроса сначала кратко рассмотрим наиболее важные аспекты физико-математического моделирования литейных процессов, необходимые для правильного понимания задач в области моделирования, а после этого вернемся к анализу некоторых откровенно неправильных утверждений, сделанных в публикациях [1-5].

 

        Известно, что основой любого пакета прикладных программ является физико-математическая модель определенных процессов (в данном случае происходящих при затвердевании металлов и сплавов), обычно формулируемая в виде дифференциальных уравнений в частных производных, выражающих основные законы сохранения: энергии, импульса и т.д.

Так, закон сохранения энергии обычно моделируется в так называемой тепловой задаче, учитывающей процесс перераспределения тепла за счет теплопроводности, конвекции и наличия различных источников. Кроме тепловой задачи пакет может включать в себя модели массопереноса (гидродинамика течения жидкости и диффузионные процессы), модели упругой и пластической деформации, модели образования газовой и усадочной пористости, модели структурообразования и т.д.

Все перечисленные модели, в конечном счете, связаны между собой, поскольку, понятно, что конвективный перенос тепла и примесей за счет движения жидкой фазы окажет значительно более сильное влияние на перераспределение, чем за счет их диффузионного распространения.

 

В свою очередь, на характере течения может сказаться шероховатость и проницаемость твердеющей поверхности отливки, наличие пузырей, возникающих при заливке металла, и т. д. В целом процесс затвердевания является существенно нелинейным, связанным с самоорганизацией затвердевающей среды в условиях отсутствия равновесия. Даже не пытаясь охватить всю картину одним взглядом, сосредоточимся сначала на отдельных сторонах задачи моделирования литейных процессов.

 

        Закон сохранения энергии, моделируемый во всех без исключения литейных пакетах, в случае однородных сред сводится к обычному уравнению теплопроводности, которое само по себе является линейным уравнением, и методами его решения занимаются, примерно, со средины XVIII века. Но описание реальных процессов затвердевания приводит к значительным отличиям от классической краевой задачи за счет множества факторов, наиболее важные из которых связаны с :
- выделением тепла при фазовом переходе, описываемым сложной диаграммой состояния;
-переносом тепла за счет конвективных потоков в жидкой фазе;
-учетом реальных граничных условий теплообмена;
-неоднородностью свойств отливки, связанной с зависимостью теплофизических коэффициентов от температуры;
-сложностью геометрии реальных отливок.

Перечисленные причины заставляют обратиться к численным методам, которые подразумевают дискретизацию пространства с помощью набора простейших элементов, представляющих в простейшем случае кубики в МКР и тетраэдры в МКЭ. При численном моделировании обычно также подразумевается дискретность времени, так, что все физические величины оказываются заданными лишь в определенные моменты времени. Наличие дискретности приводит к необходимости построения аналогов законов сохранения, используемых при моделировании, соответственно, на разностной сетке [6] и конечных элементах [7].

 

        Естественно, что у каждого из методов (МКР и МКЭ) есть свои достоинства и недостатки. Каждый из них соответствует определенному классу задач и приводит к некоторым проблемам в других областях.

 
       Так, например, МКЭ лучше (более гладко) аппроксимирует границу расчетной области. Поскольку обычно элементом в МКЭ является тетраэдр, то значения температуры в четырех вершинах тетраэдра определяют плоскость в пространстве, которая и задает кусочно-линейную аппроксимацию температуры внутри тетраэдра. После интегрирования по элементу такая аппроксимация приводит к замене исходного уравнения в частных производных на матрицу конечной размерности, вообще говоря, не имеющей какой-либо простой структуры. В результате, моделирование соответствующего закона сохранения сводится к итерационному обращению всей матрицы в целом, например, методом сопряженных градиентов [8].

       В МКР для тепловой задачи значение температуры помещается обычно в центре кубика, так что используемая аппроксимация является кусочно-постоянной. Выигрыш, по сравнению с МКЭ, состоит в простоте построения расчетной сетки и эффективных методах расщепления, т.е. в последовательном сведении процедуры обращения исходной матрицы к обращению трехдиагональных матриц методом прогонки [6].

      В инженерных задачах, где основное внимание уделяется конструкции, расчету прочностных и механических характеристик, геометрия поверхности очень важна для распределения нагрузок, а значит для правильного расчета всей конструкции. Количество используемых элементов в таких задачах выбирается минимально-необходимым для правдоподобного воспроизведения геометрии конструкции.
Поэтому в инженерных расчетах МКЭ имеет гигантское преимущество перед МКР, приводя к значительно меньшему количеству элементов и, соответственно, к меньшему времени расчета. Но все это преимущество исчезает, как только дело касается физико-химических задач.

      Действительно, при рассмотрении процесса затвердевания для каждого расчетного элемента необходимо определить момент времени, когда затвердевание начнется в данном конкретном элементе, а затем вычислить количество тепла, выделяемое за счет скрытой теплоты кристаллизации. Поскольку количество выделяющегося тепла нелинейно зависит от температуры, расчет процесса затвердевания приводит к определенным требованиям на характерный размер ячеек по пространству и на шаг по времени, превышение которых может привести к существенному изменению температурных кривых затвердевания. Соответственно, компьютерные ресурсы (количество ячеек и требуемое время расчета), необходимые для решения задачи затвердевания, должны быть примерно одинаковы в обоих подходах, в силу того, что размер элементов определяется не желанием создателей пакетов и не красотой границ, а диктуется объективной необходимостью правильного учета фазового перехода в рамках фазовых диаграмм системы.

 

Важный фактор, который надо постоянно иметь в виду при обсуждении численных методов, состоит в том, что происхождение используемых уравнений связано с физическими законами сохранения. Соответствующая численная модель должна воспроизводить эти законы. Например, никто не запрещает использовать линейную и более высокую аппроксимацию в рамках МКР. Но есть важная причина, по которой ее обычно не используют.

Причина эта связана со свойствами закона сохранения энергии: изменение тепла в выделенном объеме определяется потоком тепла через границу и влиянием источников внутри области. Поскольку поток тепла равен произведению коэффициента теплопроводности на градиент температуры, то линейная аппроксимация функций приводит к несогласованности потоков тепла между различными ячейками (задание линейной аппроксимации уже определяет значение производных внутри элемента, поэтому значения потоков тепла на границе элементов с разных сторон будут различны, см. рис. 1).
Поэтому то, что на первый взгляд кажется достоинством МКЭ (а именно: линейная аппроксимация функций и использование этой аппроксимации для построения уравнений) - на самом деле может оказаться недостатком этого метода. Небольшая разница потоков может достаточно существенно проявляться в динамике фазового перехода, поэтому при использовании линейных и более высоких аппроксимаций необходима коррекция потоков, гарантирующая локальную справедливость законов сохранения. В противном случае разность потоков тепла по разные стороны от границы будет приводить к выделению тепла на границе без всякой физической причины.

       Другой момент, который вполне может проявиться даже в однородных областях, состоит в том, что линейная аппроксимация приводит к переопределению коэффициента теплопроводности, так что при достаточно малых шагах по времени этот коэффициент может стать отрицательным, что приводит к неустойчивости расчета и осциллирующему поведению. В любом случае, сама по себе линейная аппроксимация не улучшает результатов расчета, поскольку за это приходится расплачиваться усложнением алгоритма. Поэтому, если вам на глаза попадается картинка типа рис. 1, которая призвана убедить вас в достоинствах МКЭ только благодаря существованию линейной аппроксимации, то прежде чем хлопать в ладоши, имеет смысл сначала выяснить, а как в данной реализации МКЭ строятся нужные вам уравнения и справедливы ли для них законы сохранения.

 

        Исторически, МКЭ появился как метод решения стационарных задач типа упругих напряжений, где граничные условия выставляются на поверхности тела. В тепловой задаче условия теплообмена отливки с окружающей средой существенно зависят даже от формы отливки, не говоря про множество других причин. Поэтому попытки использовать граничные условия на поверхности тела в МКЭ для тепловой задачи не привели к успеху, и на сегодняшний день все литейные пакеты (и на основе МКР и на основе МКЭ) подразумевают, что отливка находится в некоторой теплопроводящей среде и граничные условия выставляются на достаточно большом расстоянии от отливки. Поскольку расчет производится не только в области отливки, но и окружающей среды, то острой необходимости учета формы отливки не существует, так как процесс передачи тепла за счет теплопроводности имеет диффузионную природу, следовательно, форма границы между средами здесь не играет роли. Гораздо важнее сохранить баланс потоков тепла в области границы отливки, что должно выполняться в любом численном расчете как для МКР, так и для МКЭ.

Тогда зачем тратить усилия, причем немалые, на построение красивой границы?

 

        Существует еще одно различие между МКР и МКЭ, которое трудно выразить в часах, мегабайтах и т.д. Это идеологическое различие выражается в понятии "физическая интерпретация". В МКР, на всех этапах работы (построения разностных схем, численные расчеты) эта интерпретация всегда сохраняется, что позволяет видеть причины того или иного неправильного поведения модели. В МКЭ, после того, как исходные уравнения проинтегрированы по расчетной области и получена матрица, вся интерпретация теряется. Но это называется не "более математизированным методом", как это названо в [3], а "более формализованным". Быть может в будущем у формализованных подходов, если человек будет превращаться в придаток к компьютеру, есть просто неимоверная перспектива.

Но на сегодняшний день, пока человек еще остался человеком, с учетом его склонности к совершению ошибок, с учетом его стремления выдавать желаемое за действительность, при решении целого комплекса очень сложных физико-химических задач, к которому сводится компьютерное моделирование литейных процессов, хорошо бы иметь путеводную звезду в виде физических законов и принципов.

 

        Если вопрос о зависимости теплофизических параметров от температуры во всех пакетах решается примерно одинаково (обычно используется некоторая теплофизическая база данных, разница состоит лишь в ее наполненности, что определяется доступом к экспериментальным данным), то проблема изделий сложной формы, конечно, является довольно острой для МКР. Особенно это относится к тонкостенным отливкам и отливкам с узкими сечениями. МКЭ в этом вопросе имеет очевидные преимущества, поскольку тетраэдр, добавлением еще одной точки в центре, снова сводится к набору тетраэдров, что в принципе лишь меняет размер расчетной матрицы. В МКР в такой ситуации приходится идти на определенные ухищрения, называемые адаптивными вложенными сетками (представляющие из себя дополнительные ячейки меньшего размера в определенных областях), что негативно сказывается на используемой памяти и времени, требуя дополнительных затрат на их расчет. Еще одна перспектива в этом вопросе связана с постепенным переходом литейных пакетов от МКР к методу конечных объемов, где объем ячейки корректируется так, чтобы учесть геометрию соответствующей поверхности аналогично МКЭ.

 

         Известно, что гидродинамическое течение существенно зависит от шероховатости границы. В идеале было хорошо, чтобы эта шероховатость регулировалась в зависимости от типа растущей поверхности (в пределах условий от гладкого скольжения до абсолютного прилипания). Казалось бы большой простор для МКЭ. Но как уже обсуждалось в предыдущем разделе, в МКЭ есть определенная проблема с локальными законами сохранения.

Для гидродинамики это еще более важно, поскольку приходится иметь дела с уравнениями, которые неустойчивы по своей природе. Причем неустойчивость уравнений гидродинамики связана не с используемым численным алгоритмом, который лишь усугубляет данную проблему, а с самой природой уравнений, которая, как известно, приводит к возникновению турбулентных течений. Поэтому для расчета гидродинамики (обычно даже в пакетах с МКЭ) используют МКР, а при необходимости учета гладкой границы используют его обобщение - метод конечного объема.

 

         Поскольку МКЭ появился для расчета упругих напряжений, вряд ли кто-то будет решать эту задачу другим способом. Дело в том, что стационарные уравнения упругости являются эллиптическими по своей природе, и для них нет соответствующих законов сохранения. Есть только интегральные соотношения, типа теоремы Гаусса, связывающие между собой источник и значение потоков искомой функции на границах области. Это приводит к тому, что для стационарных задач обычно существует функционал, экстремум которого и дает решение искомой задачи. Такую задачу легче всего решать именно с помощью МКЭ. Но надо заметить, что сопряжение задачи напряжений, решаемой в МКЭ, с системой, основанной на МКР, внутри области затвердевшей отливки не представляет особых трудностей, поскольку, как нетрудно заметить, кубик можно легко превратить в два тетраэдра, проведя плоскость по диагонали. Трудности появляются на границе такой области, в силу того, что отсутствие гладкости (неровность твердеющей поверхности) может стать источником дополнительных напряжений. Естественный способ избавиться от таких проблем в рамках МКР - переход к методу конечного объема.

 

         Исследование задачи структурообразования приводит к тому, что ее решение (например, с помощью клеточных автоматов или метода фазового поля) строится на более мелких масштабах по сравнению с тепловой задачей. В этом случае опять используются вложенные адаптивные сетки, учитывающие дополнительное разбиение пространства и времени во внутренних областях. Соотношение шагов исходной сетки и вложенной (особенно для сильно неравновесных ситуаций) может достигать нескольких порядков [6,7]. Более того, по мере роста дендрита, используемое разбиение на элементы должно постоянно меняться со временем, т.е. необходима постоянная перегенерация сеток. Как правило, затраты для МКР и МКЭ одного порядка [11], если такие расчеты делаются для одного дендрита, либо в пакет с МКЭ добавляется конечноразностная сетка для моделирования клеточной структуры методом клеточных автоматов [12].

Анимация моделирования отливки.


 

« предыдущая

Страница 1 Страница 2 Cтраница 3

следующая »